Intelligence Architecture けんきうノート

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TVについての補足

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- 式変形

関数 \(\phi(x)\) の、厳密な定義によるTotal Variation \[ \max_{g^2\le1}\int\phi(x) \ \nabla\cdot g(x) \ dx \] の中の積分を変形したいと思います。

そこで \(\nabla\cdot(\phi g)\) について考えます。 ベクトル成分を書き下すと \( \nabla\cdot(\phi g) = {\partial\over\partial x_1}(\phi g_1) + {\partial\over\partial x_2}(\phi g_2) \) であり、積分してグリーンの公式を適用すると \[\eqalign{ \int\int\left({\partial\over\partial x_1}(\phi g_1) +{\partial\over\partial x_2}(\phi g_2)\right)dx_1dx_2 &=\oint(\phi g_1dx_2-\phi g_2dx_1) \\ &=\oint\phi g\cdot dn }\] となります。 周回積分は、\(x\) 平面上で関数(画像)\(\phi\) が定義されている領域の境界線上で取ります。 \(dn=(dx_2,-dx_1)\) はその境界線の線素を直角に回転させたものです。

簡単のため周回積分をゼロにしたいので、\(g\) は境界線上で境界線に対して平行( \(g\cdot dn=0\) )と仮定します。 したがって、結局 \[ \int\nabla\cdot(\phi g)dx=0 \] です。 一方で積の微分を考えると \( \nabla\cdot(\phi g) = \phi \ \nabla\cdot g+g\cdot\nabla\phi \) なので、 \[ \int\phi(x) \ \nabla\cdot g(x) \ dx = -\int g(x)\cdot\nabla\phi(x) dx \] が成り立ちます。

- 式評価

先の式変形により、 \[ \max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \max_{g^2\le1} \ -\int g\cdot\nabla\phi dx \] となります。 ここでベクトル \(g\) は半径1の円盤上にあるので \(g \leftrightarrow -g\) としても一緒です: \[ \max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \max_{g^2\le1}\int g\cdot\nabla\phi dx \]

さて最大値をとるとき、幾何学的に考えれば、ベクトル \(g\) が全ての点 \(x\) においてベクトル \(\nabla\phi\) と平行で、大きさが1であればいいと思われます。 (もちろんこれは厳密な考え方ではありません。 たとえばそのような \(g\) が微分可能で連続な関数として存在するかどうか?など無視しています。) このとき \(g\cdot\nabla\phi=|\nabla\phi|\) なので、 \[ \max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \int|\nabla\phi|dx \] となり、最初のTVの定義に戻りました。

厳密な証明はどうやら難しそうなので、まだ見ることすらしていません!